Основне рівняння гідростатики і закон Паскаля.

1. гідростатичний тиск
2. Основне рівняння гідростатики. Закон Паскаля.
3. Приклад рішення задачі з використанням закону Паскаля
4. Рішення:

Гідростатика - розділ гідравліки, в якому вивчаються закони рівноваги рідин, що знаходяться в спокої.

Поняття спокою або рівноважного стану по відношенню до рідини можна ототожнювати з аналогічним поняттям в одному з розділів технічної механіки - статиці . Будь-яке тіло, матеріальна точка або відокремлений обсяг речовини (в т. Ч. Рідини) вважається таким, що покоїться, якщо всі сили (зовнішні і реактивні), що діють на цей матеріально існуючий суб'єкт (т. Е. Має масу), врівноважують один одного.

Проте, рідина за своїми властивостями і «здібностям» унікальна, тому гідростатика покликана пояснити деякі особливості поведінки рідкої речовини в тих чи інших умовах.

гідростатичний тиск

На рідина, що знаходиться в спокої діють масові і поверхневі сили. Масовими є сили, що діють на всі частинки даного обсягу рідини. Це сили тяжіння і сили інерції (сили інерції проявляються в рідині, що рухається, тому їх враховує розділ гідродинаміка).
Масові сили пропорційні масі рідини, а для однорідної рідини, щільність якої однакова в усіх точках, - обсягом. Тому масові сили називають ще об'ємними.

До поверхневих належать сили, що діють на поверхні рідини. Це, наприклад, атмосферний тиск, що діє на рідину в відкритому посуді, або сили тертя, що виникають в рідині, що рухається між окремими шарами і стінками судини (в спочиває рідини сили тертя відсутні).

Рідина, що знаходиться в стані спокою, може перебувати тільки під дією сили тяжіння і поверхневих сил, викликаних зовнішнім тиском (наприклад, атмосферних). Зовнішні сили тиску є нормальними стискають поверхневими силами (вважається, що рідина не пручається розтягування). Всі ці сили створюють в нерухомій рідини деяку рівнодіючу (результуючу) силу, яка називається гидростатической силою.

Спочиваюча рідина під впливом гидростатической сили знаходиться в напруженому стані, яке характеризується гідростатичним тиском.

Виділимо в спочиває рідини довільний обсяг (див. Рис. 1). Подумки розділимо цей обсяг довільної площиною П. Виділимо на отриманому перетині точку А і деяку площадку ΔS навколо цієї точки.
Через поверхню П тиск передається з боку відсіченою частини I на частину II. Сила ΔP, діюча на розглянуту майданчик ΔS і є гідростатична сила.

Ставлення гидростатической сили до площі поверхні (виділеного перетину) рідини називають середнім гідростатичним тиском. Істинне гідростатичний тиск в даній точці рідини може бути визначено, як межа, до якого прагне середнє гідростатичний тиск при нескінченному зменшенні розглянутої площадки ΔS:

p = lim ΔP / ΔS при ΔS прагне до нуля.

Гідростатичний тиск завжди направлено по внутрішній нормалі до площадки, на яку воно діє, і величина його в довільній точці не залежить від орієнтації цього майданчика в просторі.

Це твердження випливає з умов:
- нерухомості рідини, оскільки при будь-якому переміщенні рідини неминуче виникають дотичні напруження;
- рівноваги розглянутого елементарного (нескінченно малого) обсягу, оскільки рівновага може бути досягнуто лише при рівності всіх діючих на даний елементарний обсяг зовнішніх сил (передбачається, що вагою нескінченно малого об'єму рідини можна знехтувати).
При цьому виділений обсяг може мати будь-яку довільну форму - куба, правильної піраміди і т. Д. - в будь-якому випадку легко довести, що сили, що діють на межі цього обсягу будуть однакові у всіх напрямках.

***

Основне рівняння гідростатики. Закон Паскаля.

Виділимо в однорідної рідини, що знаходиться в спокої, елементарний об'єм ΔV у вигляді прямокутного паралелепіпеда з площею горизонтального підстави ΔS і висотою H (див. Рис. 2).
Розглянь умови рівноваги виділеного елементарного об'єму.

Нехай тиск на площину верхнього підстави одно р1, а на площину нижньої основи - р.
Сили тиску діючі на вертикальні грані виділеного паралелепіпеда взаємно врівноважуються як рівні за величиною і протилежно спрямовані.
На горизонтальні межі діють сили тиску, спрямовані вертикально: на верхню грань ця сила буде дорівнює р1ΔS (спрямована вниз), на нижню - pΔS (спрямована вгору).

На верхню і нижню межі розглянутого паралелепіпеда діють сили, обумовлені тиском на рідину з боку зовнішнього середовища (наприклад, атмосферного тиску) і вага (сила тяжіння) елементарного стовпчика рідини над кожною з горизонтальних граней паралелепіпеда.
Очевидно, що різниця сил ваги, що діють на верхню і нижню площадку, буде дорівнює вазі рідини, укладеної в обсязі даного паралелепіпеда, який дорівнює ρgΔV,
де ρ - щільність рідини, g - прискорення вільного падіння, ΔV - об'єм паралелепіпеда: ΔV = HΔS.

Виходячи з умови рівноваги виділеного елементарного паралелепіпеда об'ємом ΔV, можна стверджувати, що сума всіх зовнішніх сил, що діють на паралелепіпед дорівнює нулю, т. Е .:

pΔS - p1ΔS - ρgΔV = pΔS - p1ΔS - ρgΔSH = 0.

Перетворивши цю формулу, отримаємо величину гідростатичного тиску на нижню горизонтальну площадку:

p = p1 + ρgH.

Якщо верхня межа паралелепіпеда межує із зовнішнім середовищем (наприклад, атмосферою), що надає тиск р0 на рідину, то формула може бути переписана у вигляді:

p = p0 + ρgH.

Цей вислів є основним рівнянням гідростатики.

Отже, гідростатичний тиск в будь-якій точці всередині спочиває рідини дорівнює сумі тиску на вільну поверхню з боку зовнішнього середовища і тиску стовпа рідини висотою, рівній глибині занурення точки (т. Е. Її відстані від вільної поверхні рідини).

На підставі основного рівняння гідростатики може бути сформульований закон Паскаля: зовнішній тиск, вироблене на вільну поверхню спочиває рідини, передається однаково всім її точкам в усіх напрямках.

Блез Паскаль (Blaise Pascal, 1623 - 1662) - видатний французький вчений - математик, механік, фізик, літератор і філософ. Класик французької літератури, один із засновників математичного аналізу, теорії ймовірностей і проективної геометрії, творець перших зразків лічильної техніки, автор основного закону гідростатики.

Цікаві цитати з популярного збірника висловлювань Паскаля, які не втратили актуальність і в наші дні.
Ось деякі з них:

• Шукання істини відбувається не з веселощами, а з хвилюванням і тривогою; але все таки треба шукати її тому, що, не знайшовши правди і не полюбив її, ти загинеш.
• Минуле і сьогодення - наші кошти, тільки майбутнє - наша мета.
• Нас втішає будь-яка дрібниця, тому що будь-яка дрібниця призводить нас в зневіру.
• Коли людина намагається довести свої чесноти до крайніх меж, його починають обступати пороки.
• Справедливість повинна бути сильною, а сила повинна бути справедливою.
• Істина так ніжна, що тільки-но відступив від неї, впадаєш в оману, а й оману це так тонко, що варто тільки трохи відхилитися від нього, і опиняєшся в істині.
• Велич не в тому, щоб впадати в крайність, але в тому, щоб торкатися одночасно двох крайнощів і заповнювати проміжок між ними.
• Вивчаючи істину, можна мати троякую мета: відкрити істину, коли шукаємо її; довести її, коли знайшли; нарешті, відрізнити від брехні, коли її розглядаємо.
• Сила чесноти людини повинна вимірюватися не його зусиллями, а його повсякденним життям.
• Лише в кінці роботи ми зазвичай дізнаємося, з чого потрібно було її почати.
• Існує достатньо світла для тих, хто хоче бачити, і досить мороку для тих, хто не хоче.
• Людина - це засуджений до смерті, страта якого відкладається на час його життя.

Помер Паскаль після важкої і тривалої хвороби у віці 39 років, залишивши по собі яскравий слід в науці.
Ім'я цього вченого увічнено в назвах однієї з одиниць міжнародної системи СІ, мови програмування Paskal і місячного кратера.

***

Приклад рішення задачі з використанням закону Паскаля

Водолази при підйомі затонулого судна працювали на глибині 50 м. Визначити тиск p води на цій глибині і силу P тиску на скафандр водолаза, якщо площа його поверхні S дорівнює 1 м2.
Атмосферний тиск вважати рівним 1013 МПа (0,1013 × 106 Па), щільність води - 1000 кг / м3.

Рішення:

Визначимо тиск, який чиниться стовпом води на глибині 50 м (в Па):

ρgH = 1000 × 9,81 × 50 = 4,9 × 105 Па.

Застосувавши основне рівняння гідростатики, з урахуванням атмосферного тиску, знайдемо тиск на глибині 50 м:

p = p0 + ρgH = 1,013 × 105 + 4,9 × 105 = 5,91 × 105 Па ≈ 0,59 МПа.

Силу тиску стовпа води на скафандр водолаза визначимо за формулою:

P = pS = 5,91 × 105 × 1 = 591000 Н = 591 кН.

***

Основне рівняння гідростатики і закон Паскаля широко застосовуються при вирішенні багатьох інженерних задач. Властивості рідини передавати вироблену на неї тиск без зміни використовується при конструюванні гідравлічних пресів, домкратів, гідроакумуляторів, гідроприводів і інших механізмів. Основний принцип роботи цих пристроїв основа на пропорційній різниці сил, прикладених до поршнів гідроциліндрів, що мають різний діаметр: P1S2 = P2S1.

***

Плавучість тел і закон Архімеда